AuD Übung 03 (Stefan Bosse) [22.11.2025]
Gruppe und Namen der Mitglieder
Punkte:Total/21./22./23./24./25./26./2

Übung Numerik (03)

In dieser Übung sollen drei Ziele erricht werden:

  1. Vektoren und Matrizen in Java verwenden und Arithmetik darauf anwenden;
  2. Anwendung der Algorithmen auf konkrete Daten.
  3. Wieder Laufzeitbetrachtungen anstellen und einordnen können.

Ausgabe : 21.11.2025

Abgabe : 1.12.2025

Komplexitätsanalyse

Aufgabe 1. Was bedeutet die O-Notation?


Aufgabe 2. Was ist der Unterschied zwischen Big-O und Littel-o Notation?


Aufgabe 3. Welche berechnten Laufzeiten (Aufwand S) sind gleich oder kleiner O(n2)?


Vektoren und Matrizen

Ab hier sollen Algorithmen in Java mit dem integrierten JS Transpiler implementiert werden. Es dürfen keine weiteren externen Java Klassen/Module/Packages außer System verwendet werden!

Vektoren und Matrizen

\[ {v}={\left(\matrix{{v}_{{1}}\\{v}_{{2}}\\..\\{v}_{{n}}}\right)}\\ {m}={\left(\matrix{{a}_{{{1},{1}}}&..&{a}_{{{1},{m}}}\\{a}_{{{2},{1}}}&..&{a}_{{{2},{m}}}\\..&..&..\\{a}_{{{n},{1}}}&..&{a}_{{{n},{m}}}}\right)} \]

sind die wichtigsten Datenstrukturen in der Matheamatik und Numerik.

Für Matrixalgebra brauchen wir Vektoren und Matrizen. In Java können diese mittels der Array Klasse von einem beliebigen Datentyp direkt erzeugt werden. Matrizen sind im Grunde Arrays von (eindimensionalen) Arrays.

Erzeugung von Vektoren und Matrizen in Java (websh0)

Die Arrays sind nicht initialisert! Das muss explizit erfolgen, z.B. mit einem Wert 0.

Test Vektoren und Matrizen. Ausführung von make (Linux, Mac) oder makew (Windows) und run. (websh 0)
Type help or hit TAB for a list of commands.

Es können aber auch initialierte Arrays (oder Arrays von Arrays, also Matrizen) erzeugt werden. Das wird nachfolgend gezeigt.

Vektoren und Matrizen von konstanten Werten in Java

Test Konstante Werte. Ausführung von make (Linux, Mac) oder makew (Windows) und run. (websh 1)
Type help or hit TAB for a list of commands.

Im folgenden sollen diese nativen Arrays (oder Arrays von Arrays als Matrizen) in komfortable Vektor- und Matrixklassen in Java eingebettet werden, mit einer Reihe von Operationen der linearen Vektor- und Matrixalgebra.

Vektor und Matrix Numerik Klassen

Aufgabe 4. Lese das Modul B Abschnitt Vektor- und Matrixalgebra. Erstelle eine Vektor und Matrix Klasse die die Operationen +,-*,/ und Negieren von Vektoren und Matrizen (elementweise) implementieren sowie das Skalarprodukt und das Matrixprodukt. Dabei soll es in-place (Nutzung der Quellmatrix) und out-of-place (neue Ergebnismatrix) möglich sein diese Operationen durchzuführen. Es wird in beiden Fällen die Zielmatrix (oder der Zielvektor) zurück gegeben. Weiterhin muss die Konstruktorfunktion und eine Print Methode erstellt werden. Die diagonal Methode erzeugt eine Einheitsmatrix. Die data Methode gibt das reine Datenarray zurück. Die Vector und Matrix Klassen sollen jeweils die Metadaten als Klassenvariablen implementieren (nrow,ncol) sowie die Daten mittels data. Die fehlen in den Templates noch. Zuletzt soll es eine fromArray Methode geben, die vor allem für die Initialisierung mit Konstantwert Arrays verwendet werden soll (also z.B. beim Vektor new float[]{1,2,3,4}, bei Matrix new float[][]{{1,2},{3,4}}).

Vektor Klasse (websh 2)

Matrix Klasse (websh 2-4)

Test Vektoren und Matrixerzeugung (websh 2)

Test Vektoren und Matrixerzeugung. Ausführung von make (Linux, Mac) oder makew (Windows) und run. (websh 2-4)
Type help or hit TAB for a list of commands.

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

Berechnungen

Aufgabe 5. Teste nachfolgende mathematische Rechnungen (jede Zeile ist eine Aufgabe, ⊙ ist das Skalar- oder Matrixprodukt.

\[ {a}={\left({3},{10},-{4}\right)},{b}={\left({2},{9},{10}\right)},{a}\odot{b}\\ {a}={\left({3},{10},-{4}\right)},{b}={\left({2},{9},{10}\right)},{a}+{b}\\ {a}={\left({3},{10},-{4}\right)},{b}={\left({2},{9},{10}\right)},{a}\cdot{b}\\ {q}={\left(\matrix{{3}&{2}&{5}\\{4}&{6}&{7}\\{5}&-{1}&-{2}}\right)},{r}={\left(\matrix{{13}&{1}&{5}\\{4}&{2}&-{7}\\{1}&{1}&{2}}\right)},{q}\odot{r}\\ {q}={\left(\matrix{{3}&{2}&{5}\\{4}&{6}&{7}\\{5}&-{1}&-{2}}\right)},{r}={\left(\matrix{{13}&{1}&{5}\\{4}&{2}&-{7}\\{1}&{1}&{2}}\right)},{q}\cdot{r} \]

Tipp: Initialisiere die Matrizen folgendermaßen: 

    float [][] qI = {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};
    float [][] rI = {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};
    Matrix q = new Matrix(3,3,0);
    Matrix r = new Matrix(3,3,0);
    q.fromArray(qI);
    r.fromArray(rI);

Man könnte alternativ q.fromArray(new float[][]{{3,2,...},..,{}}) verwenden. Verfahre ähnlich bei Vektoren.

Lösungen zu Vektor- und Matrizenrechnungen berechnen (websh 3)

Lösungen zu Vektor- und Matrizenrechnungen berechnen. Ausführung von make (Linux, Mac) oder makew (Windows) und run. (websh 3)
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Aufgabe 6. Die Lösungen sind als Tex/AsciiMath in korrekter mathematischer Notation hier einzutragen (auf das Doppelquadrat klicken und ein Editor öffnet sich):

AsciiMath Syntax: 

Vector: v=((1),(2),(..),(4))
Matrix: m=((1,2,3),(3,4,5),(6,7,8))
Ergebnisse


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 ⧉ 
 

VEJB

Profiling

Das Profiling mit uJ kann benutzt werden um:

  1. Die Anzahl der ausgeführten VM Instruktionen zu bestimmen;
  2. Die Laufzeit;
  3. Die Aufteilung von Rechenoperationen (opARITH), Steueroperationen (opBRANCH) und Datenoperationen (opDATA) zu bestimmen;
  4. Due Belegung des Heap zu untersuchen;
  5. Abschnittsweises Profiling durchzuführen.

Verwendung (Ausgabe kann in eine statische Methode verschoben werden und wiederverwemdet werden): 

uj.lang.RT.profileStart();
// Hier der Code für die Profilierung

uj.lang.RT.profileStop();
// Delta stop-start! 

int [] ops = uj.lang.RT.profileOps();
int [] mem = uj.lang.RT.profileMem();
System.out.println(uj.lang.RT.profileTime()+" ms");
System.out.println(uj.lang.RT.profileIcount()+" Instr.");
System.out.println("SP="+uj.lang.RT.profileSp());
System.out.println("[opALU="+ops[0]+" opBRANCH="+ops[1]+" opCALL="+ops[2]+" opNEW="+ops[3]+" opRET="+ops[4]+"]");
System.out.println("[heapAlloc="+mem[0]+" nalloc="+mem[1]+" nfree="+mem[2]+" ngc="+mem[3]+" ncompact="+mem[4]+"]");

Aufgabe 7. Jetzt soll der Rechenaufwand der Vektor- und Matrixoperationen untersucht werden. Dazu ist besiepielshaft der nachfolgende Test durchzuführen. Das N (als Anzahl der Zeilen und Spalten) soll wieder variiert werden. Kann man die theoretische Komplexitätsklasse in der Messung wieder finden? Wie verteilen sich die arithmetischen, Daten- und Steuerungsoperationen (Branches) jeweils?

Profilierung von Vektor- und Matrixoperaionen in Java (websh4)

Laufzeit Vektor Multiplikation
Laufzeit Vektor Skalarprodukt
Laufzeit Matrix Multiplikation
Laufzeit Matrix Punktprodukt
Messung des Rechenaufwands. Ausführung von make (Linux, Mac) oder makew (Windows) und run. (websh 4)
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